O objetivo deste livro é servir de texto básico para as disciplinas Cálculo Numérico e Análise Numérica, bem como de texto complementar para Programação de Computadores, Programação Científica e Algoritmos e Estruturas de Dados. Usualmente um curso de Cálculo Numérico e de Análise Numérica é ministrado com o suporte de uma linguagem de programação. No entanto, após a formulação de um método é mais interessante elaborar um algoritmo para depois implementá-lo em uma linguagem qualquer. Desta forma, somente os aspectos matemáticos são considerados ao fazer o algoritmo, ficando os detalhes da linguagem de programação para uma outra etapa. Essa metodologia é adotada em Algoritmos Numéricos. Um método é discutido, são apresentados exemplos de sua utilização e ao final é proposto um algoritmo com a sua complexidade. A análise de complexidade de algoritmo torna possível decidir pela melhor maneira de implementar um método numérico. Algoritmos Numéricos é composto de sete capítulos e quatro apêndices. No Capítulo 1 são descritas as etapas para a solução de um problema real qualquer, mostrando em qual delas se faz necessária a elaboração de um algoritmo. Uma notação algorítmica bem simples é apresentada, pois todos os algoritmos deste texto são descritos nessa notação. Também são mostrados os vários tipos de erros que ocorrem durante a solução de um problema, além de explicar como um número é armazenado no computador. O Capítulo 2 trata da solução de sistemas de equações algébricas lineares. Descreve alguns conceitos fundamentais, sistemas triangulares, métodos diretos (Gauss, decomposicao LU, Cholesky e espectral) e métodos iterativos estacionários (Jacobi e Gauss-Seidel). Uma seção é dedicada à análise de erro na solução de sistemas lineares. O Capítulo 3 descreve os métodos de interpolação baseados em polinômios de Lagrange, Newton e Gregory-Newton, bem como o erro de truncamento que ocorre nesses procedimentos de interpolação. No Capítulo 4, as técnicas de regressão linear simples e múltipla, via quadrados mínimos, para ajuste de curvas são descritas. São mostradas formas alternativas de estimar os parâmetros de regressão, bem como a diferença entre regressão e interpolação. O Capítulo 5 apresenta os métodos de integração numérica de Newton-Cotes (trapézio, 1/3 e 3/8 de Simpson) e quadratura de Gauss-Legendre. É feita uma análise de erro para cada uma dessas regras de integração. São também demonstradas as fórmulas de Newton-Cotes e Gauss-Legendre para integração dupla. O Capítulo 6 mostra, inicialmente, como isolar raízes de equações algébricas e transcendentes. Em seguida, são descritos métodos para fazer o refinamento de uma raiz: bisseção, métodos baseados em interpolação linear (secante, regula falsi e pégaso), métodos baseados em interpolação quadrática (Muller e van Wijngaarden-Dekker-Brent) e métodos baseados em tangentes (Newton e Schröder). Para cada método, é feita uma análise da sua ordem de convergência. O Capítulo 7 é dedicado às equações diferenciais ordinárias (EDO). São apresentados o problema de valor inicial e os métodos de Runge-Kutta e de Adams para resolvê-lo. Também é mostrado como resolver sistemas de EDO, o que possibilita a solução de equações diferenciais ordinárias de ordem superior. Ao final de cada capítulo são propostos exercícios de fixação. Em todos os capítulos são apresentados algoritmos dos métodos, descritos na notação algorítmica proposta, tornando fácil a sua implementação em qualquer linguagem de programação. Nos apêndices, é mostrado como implementar os algoritmos em diversas linguagens de programação: FORTRAN (apêndice A), Pascal (apêndice B), e MATLAB (apêndice C). O apêndice D apresenta as respostas de alguns exercícios propostos. O autor gostaria de agradecer a todas as pessoas que tornaram possível a elaboração de Algoritmos Numéricos, em especial, a Líliam César de Castro Medeiros, Silvana Bocanegra, Jones Oliveira de Albuquerque, Daniela Dias Rodrigues, Helton Fábio de Matos e Marcos Augusto dos Santos.
Sugestões para aprimorar o presente texto, bem como para efetuar correções serão bem-vindas pelo e-mail: Frederico Ferreira Campos, filho. Belo
Horizonte, maio de 2001.
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